第一部分：课堂计划安排
- 计划12.22期末考试，最后会有一节复习课
- 接下来课程安排：卷积（即今天的）、滤波、傅里叶变换 [这三个内容都是考试重点]
第二部分：本节课考试内容摘要
- 理解为什么要提出系统（System）的概念
- 冲激响应（Impulse response）的概念
- 给一个表达式判断是不是线性时不变系统（Linear and Time-invariant System, LTI System）
- 卷积的输入端算法
- 卷积的输出端算法
- 卷积的一些基本性质
第三部分：线性时不变系统
1. 系统与冲激响应
对应PPT（Ch05）Page.3
系统是一系列操作的集合，便于简化理解
h(n)是指冲激响应，对于一个LTI系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激函数δ(t)，所引起的响应称为冲激响应（这里不理解也没事，只要记得h(n)是什么，后面会给出图）
所有系统必有h(n)，只需要知道h(n)是什么，就可以知道系统内部的所有性质，下面是举例：
当我们看到如图所示的冲激响应波形时，我们就可以知道这是一个高通滤波器系统，从而获得其各性质
2. 线性时不变系统
2.1 概述
下面的概念看不懂没事，会给例子
2.2 线性（Linear）
不需要理解线性是什么，只需要知道只要满足了同质性和相加性即是线性
2.3 同质性（Homogeneity）
对于给定的输入x，若x变为k倍，输出y也变为k倍，即为满足同质性
2.4 相加性（Additivity）
对于给定的输入x，若输入变为x₁+x₂，输出也变为y₁+y₂，即为满足相加性
2.5 时不变（Time-Invariance = Shift-Invarance）
当输入x在时间上移动了s，输出y也相应移动了s
即，当输入x(n)变为x(n+s)时，将表达式中n全替换为n+s，所得到的的y相同（这里不太好表述，建议看例子）
其中，s>0时左移，s<0时右移
2.6 如何判断一个表达式是否满足LTI（举例说明）
即满足LTI的三条性质：同质性、相加性、时不变
此处例子的时不变不明显，接下来举一个时不变比较明显的例子
3. 卷积（Convolution）
3.1 概述
只有LTI系统才能卷积
卷积能滤波
CNN里是进行二维卷积，信号处理则是在进行一维卷积
卷积计算方法分为输入端算法和输出端算法两种
3.2 输入端算法（Input Side Algorithm）
δ(n)为冲激函数，这里只有n=0时才起作用（这个概念不用管，上述的三幅坐标图也不重要）
现在有输入x(n)={1,2,3}，冲激响应h(n)={1,2,3,4}
- 取x₁=1，乘以h(n)，得到y₁={1,2,3,4}
- 取x₂=2，乘以h(n)，得到y₂={0,2,4,6,8}
- 取x₃=3，乘以h(n)，得到y₃={0,0,3,6,9,12}
其中，x₂=2和x₃=3补了0（实际不需要0，补0是为了方便对齐进行后面的计算），从上到下应当在前依次补0个0、1个0、2个0……以此类推
对齐后我们则按上图中右下形式进行计算，第1列1+0+0=1、第2列2+2+0=4……依次类推
最后获得输出y={1,4,10,16,17,12}
3.3 输出端算法（Output Side Algorithm）
c=f*g，其中*是卷积符号
我们保持f和g中比较长的那个不动，将短的进行倒置，并将长的第一个数字对齐短的倒置后的最后一个数字（建议看图）
将重合的数字进行乘加计算，获得C[0]
然后短的向右滑，重复上述步骤，最后即可获得输出y
其中，f和g未重叠的时候实际是在补0，如C[0]=0*1+0*4+1*3=3，这里右滑一格即是步长为1，可以和CNN进行类比理解
3.4 卷积性质
和自然数的性质一样，具有分配律、结合律和交换律（只需要知道有这三个东西就行，不用管怎么用）
3.5 其它
- 卷积最后输出的长度为计算时两个向量长度加起来减1
- 如上述输出端算法中L(f)=4, L(g)=3, L(c)=L(f)+L(g)-1=4+3-1=6
- 上图中Output中左右两段（SIDE EFFECT）不对不连续是因为我们在计算卷积的时候进行了补0
- 这个我们可以从输出端算法中很清晰地看出原因
- 一共有2(N-1)个点不连续，这同样从输出端算法中可以看出补了2(N-1)个0
- 如果输出端算法短的不翻转就进行计算，所获得的结果称为相关（如相关系数的计算）